Exercices numériques

Trapèzes : $L \approx \Delta\lambda\left[\frac{L_1+L_n}{2} + \sum_{i=2}^{n-1}L_i\right] = 1\times[\frac{30+25}{2} + 45+50+40] = 27{,}5 + 135 = 162{,}5$ W·m⁻²·sr⁻¹.

Point de vigilance : ne pas oublier le pas Δλ — sommer les valeurs seules donne 190 (sans unité cohérente).

(a) $\nu_c = 1/(10^{-5} \times 2) = 50$ cycles/mm. Nyquist pixel : $\nu_N = 1/(2p) = 1/(2\times15\times10^{-6}) = 33{,}3$ cycles/mm. $\nu_c > \nu_N$ → sous-échantillonné (aliasing).

(b) $\nu_c = 1/(4\times10^{-6}\times4) = 62{,}5$ cycles/mm. Encore $\nu_c > \nu_N$ → sous-échantillonné, plus fortement.

Conclusion : un pixel de 15 µm sous-échantillonne dans les deux cas — typique des imagers IR où on privilégie la portée au détriment du respect strict de Shannon.

(a) SNR = $\sqrt{N} = \sqrt{400} = 20$.

(b) Flux constant → 100 photons → SNR = $\sqrt{100} = 10$.

(c) Sommer $N$ frames divise le bruit par $\sqrt{N}$ si indépendant : il faut $N = 4$ frames pour retrouver SNR = 20 (4 frames × 100 photons = 400).

Leçon : frame rate et sensibilité s'échangent en $\sqrt{t_{int}}$ — la physique ne laisse pas le choix.

(a) Seuil = 100 + 5×12 = 160 ADU.

(b) $P_{fa}(5\sigma) \approx 3\times10^{-7}$ par pixel.

(c) 640×512 = 327 680 pixels → $327680 \times 3\times10^{-7} \approx 0{,}1$ fausse alarme/image — soit ~1 FA toutes les 10 images. Acceptable mais non nul : à 25 Hz, ~2,5 FA/seconde de détections à filtrer. Il faut une étape de confirmation (corrélation temporelle, taille de blob, classification) — le seuil seul ne suffit pas sur une grande image.

Position 3 (centrée sur le 3ᵉ pixel, voisins 2,3,4) : $(0+0+10)/3 = 3{,}33$. Position 4 : $(0+10+10)/3 = 6{,}67$. Position 5 : $(10+10+0)/3 = 6{,}67$.

Le bord de l'objet s'étale sur 1 pixel de chaque côté — c'est le flou du filtre. En fréquence : le moyenneur atténue les hautes fréquences (le bord net devient progressif).

$\lambda_{max} = 2898/T$ µm. (a) 2898/310 = 9,3 µm → LWIR. (b) 2898/400 = 7,2 µm → limite MWIR/LWIR, le LWIR capte encore bien. (c) 2898/2000 = 1,45 µm → SWIR.

Leçon : plus la source est chaude, plus le pic se décale vers les courtes longueurs d'onde — c'est pourquoi on détecte les tirs en SWIR et les hommes en LWIR.

(a) $(600/300)^4 = 2^4 = 16$ — l'échappement émet 16× plus par m².

(b) $M = \sigma T^4 = 5{,}67\times10^{-8} \times 600^4 = 5{,}67\times10^{-8} \times 1{,}296\times10^{11} \approx 7{,}35$ kW/m².

(c) La tache chaude localisée est une signature d'aspect : sa position/caractéristique trahit un moteur, indépendamment du camouflage de surface — c'est un indice ATR robuste.

$\tau = e^{-\sigma R}$. 2 km : $e^{-0{,}36} = 0{,}70$. 5 km : $e^{-0{,}9} = 0{,}41$. 10 km : $e^{-1{,}8} = 0{,}17$.

τ = 0,5 → $R = \ln(2)/\sigma = 0{,}69/0{,}18 = 3{,}8$ km. La portée s'effondre avec la météo — le même capteur fait 2× mieux à σ=0,1/km.

(a) $\theta_{Airy} = 1{,}22\times 10^{-5}/0{,}15 = 81$ µrad.

(b) Tache = $\theta \times f = 81\times10^{-6} \times 0{,}3 = 24$ µm.

(c) Pixel 12 µm vs tache 24 µm → 2 pixels/tache → bon échantillonnage (≈ Nyquist). Si D passait à 300 mm : tache 12 µm = pixel → limite juste atteinte.

(a) $E = \pi\Delta L\tau_o/(4N^2) = \pi\times4\times0{,}75/(4\times4) = 0{,}59$ W/m².

(b) F/4 : $E = \pi\times4\times0{,}75/(4\times16) = 0{,}15$ W/m² — 4× moins (loi en 1/N²). F/2 collecte 4× plus de lumière mais l'optique est plus grosse/lourde et la profondeur de champ plus courte — le trade luminosité vs masse/aberrations.

(a) SNR = ΔT/NETD = 2000/40 = 50 — confortable.

(b) Pour SNR = 5 sur ΔT = 2 K, il faut NETD ≤ 400 mK — déjà largement atteint. Mais : à longue portée, l'atmosphère atténue le contraste : si τ = 0,2, ΔT apparent = 0,4 K → SNR = 10. C'est là que le NETD redevient critique : à faible transmission, chaque mK de NETD compte.

Modèle cible étendue dans le faisceau (spot < cible) : le flux réémis ∝ puissance surfacique × ρ × τ², recueilli ∝ A_r/R². Puissance au spot : $P_t\tau$ ; densité ≈ $P_t\tau/(\pi(R\theta/2)^2)$.

Le calcul exact dépend des hypothèses — la leçon est la dépendance en τ² et 1/R⁴ : l'aller-retour atmosphérique et la géométrie écrasent le signal. À 10 km, τ² = 0,05 → signal effondré. En pratique un LRF de cette classe fait ~10–15 km sur cible OTAN en air clair — le seuil de détection et l'optique de réception (D_r) fixent la limite exacte.

(a) FOM = 30 × 68 = 2040.

(b) Haut de gamme (FOM > 2000).

(c) Le FOM = SNR × résolution, l'EBI, le halo, l'autogating — « Gen 4 » n'est pas un standard : exiger les paramètres mesurés.

$R = D_{crit}/(N50\times\text{IFOV}_{cycle})$.

Détection : 0,75/(1,5×80×10⁻⁶) = 6 250 m. Reconnaissance : 0,75/(4×80×10⁻⁶) = 2 344 m. Identification : 0,75/(7×80×10⁻⁶) = 1 339 m.

Sanity check : les portées sont dans le rapport des N50 (1,5:4:7). Attention : ce sont des portées système parfait — l'atmosphère les réduira (fiche C2).

(a) Cycle = 2 px = 60 µrad. R = 0,75/(4×60×10⁻⁶) = 3 125 m — il ne fait pas 5 km.

(b) S'il pense « 4 pixels = 120 µrad » : R = 0,75/(4×30×10⁻⁶)... non, s'il utilise 4 pixels comme 4×30=120 µrad au lieu de 4 cycles=240 µrad : R = 0,75/(4×30e-6×2)...

Clarifions : 4 cycles = 4×60 = 240 µrad sur cible → 3 125 m. S'il calcule « 4 pixels » = 4×30 = 120 µrad → R = 0,75/120e-6 = 6 250 m — il double la portée en confondant cycles et pixels. C'est l'erreur la plus fréquente : 1 cycle = 2 pixels.

(a) Vers 8+ cycles/mrad (MRTD passe de 300 mK à 1,2 K — le système sature).

(b) À ΔT = 400 mK, on résout jusqu'à ~5–6 cycles/mrad (entre 300 mK@5 et 1,2 K@8).

(c) À basse fréquence, MRTD → valeur proche du NETD : les grandes formes demandent seulement la sensibilité, pas la résolution. MRTD basse fréquence ≈ limite de sensibilité.

(a) IFOV_cycle = 2,3/(7×3000) = 110 µrad → IFOV pixel = 55 µrad.

(b) $f = p/\text{IFOV} = 15\times10^{-6}/55\times10^{-6} = 273$ mm — focale longue (optique lourde).

(c) Un jitter de 30 µrad = 0,55 IFOV — il étale l'image de plus d'un demi-pixel → MTF haute fréquence dégradée (facteur ~sinc). Faible marge : la stabilisation devient le point dur — il faut soit un meilleur stabilisateur (jitter < 15 µrad) soit revoir l'exigence de focale. L'error budget montre que la stabilité, pas l'optique, risque de faire échouer l'identification à 3 km.

(a) À Pfa = 10⁻⁵, Pd = 0,75 < 0,8 → non conforme.

(b) Il faut soit un seuil plus permissif (mais Pfa monte : à Pfa=10⁻⁴, Pd=0,88 ✓ mais trop de fausses alarmes), soit améliorer le détecteur (meilleure sensibilité/algorithme) pour déplacer la courbe ROC vers le haut — la métrique est l'aire sous la courbe (AUC), pas un point.

(a) $x_{pred} = x_0 + v\,t = 0 + 15\times0{,}5 = 7{,}5$ m.

(b) Sans mesure, l'incertitude croît : $\sigma^2_{pred} = \sigma_0^2 + (\sigma_Q t)^2 \approx 1 + (0{,}5\times0{,}5)^2 \approx 1{,}06$ m² → σ ≈ 1,03 m. Le Kalman tient la piste en prédiction pendant l'occlusion, mais l'incertitude grandit — c'est le 'track-through' spécifié (fiche C5). Au-delà d'une durée, la piste est perdue.

(a) Caméra thermique : un homme a une signature thermique que l'I² ne voit pas s'il est camouflé/invisible en lumière résiduelle — la thermique détecte par émission.

(b) Épiscope nuit / JVN : la conduite exige une vision naturelle (relief, obstacles) — l'I² ou l'épiscope à canal nuit, pas la thermique qui aplatit le relief.

(c) JIM LR : il combine thermique + LRF eye-safe + GPS/boussole → produit des coordonnées précises pour le feu, pas juste une image. C'est l'outil d'acquisition d'objectifs.

(a) θ ∝ 1/D → B résout 2× moins bien que A (θ_B = 2θ_A) → portée de détection ~divisée par 2.

(b) Contrainte 2 kg → B obligatoire (A = 8 kg trop lourd). Coût : portée ~moitié — on compense par le vol plus bas/proche, la discrétion, ou plusieurs drones. Leçon : la masse impose la physique ; il n'y a pas de petit capteur longue portée.

(a) Distance détection→effet = 4 − 1,5 = 2,5 km → temps = 2500/25 = 100 s.

(b) Décision = 4+8 = 12 s ≪ 100 s → viable pour ce drone lent. Mais pour un drone rapide (50 m/s) ou détection tardive (1,8 km) : temps dispo = 300/50 = 6 s < 12 s → perdu. Il faut détection plus lointaine ou décision automatique — la latence de la chaîne, pas la portée, fait la différence.

Le seeker discrimine par signature + cinématique + histoire :

• Température/signature : le leurre est plus chaud (ΔT 200 vs 50 K) — filtrable par seuil.
• Cinématique : le leurre suit une balistique (décélère, tombe), la cible continue — le tracker Kalman (fiche C5) prédit la vraie trajectoire.
• Apparition : le leurre naît soudainement — la piste préexistante est privilégiée (verrouillée avant leurre).
• Spectre : les seekers multi-bandes discriminent par signature spectrale (le leurre est un point chaud pur, la cible une signature étendue).

En évaluation : la résistance aux leurres se teste en scénario leurré, pas sur cible seule.

1. Conditions NETD (F/#, t_int, T_scène) : un NETD à F/1 et 30 ms n'est pas à F/4 et 5 ms.
2. Cible 'véhicule' : dimension critique, ΔT, aspect — sans cible de référence, la portée est vide.
3. Tâche 'détection' : P_d et seuil — 50 % ou 90 % changent tout.
4. Atmosphère : visibilité/σ — '12 km' en air idéal vs standard.
5. Chaîne incluse ou non : traitement, ATR, ou image brute observateur.

Conclusion : une portée sans ces paramètres est un chiffre marketing — à re-modéliser sur base commune avant toute comparaison.

Résolution : Y gagne (IFOV 30 vs 50 µrad → ~1,7× plus de cycles sur cible → portée reconnaissance ~1,7×). Sensibilité : X gagne (NETD 30 vs 50 mK, refroidi → mieux en faible contraste). Luminosité : Y gagne (F/1,4 collecte 2× plus que F/2). SWaP : Y gagne (moitié masse, non-refroidi → pas de Stirling, MCO simple).

Arbitrage : pour reconnaissance 1,5 km homme, la résolution domine → Y probablement suffisant et plus léger/moins cher (adapté véhicule léger). X est meilleur en faible contraste/longue portée mais surdimensionné. Leçon : le 'meilleur' capteur est celui qui équilibre la chaîne pour LA mission — pas celui avec le meilleur chiffre isolé.