Fonctions, dérivées et intégrales — la boîte à outils du rayonnement
Pourquoi la radiométrie exige des intégrales spectrales, et comment relire une dérivée ou une intégrale sans effort après dix ans de pause.
Pourquoi commencer ici ?
Toute la radiométrie — la quantification de la lumière en énergie — repose sur des intégrales spectrales. La loi de Planck donne la luminance par unité de longueur d'onde ; pour obtenir ce qu'un détecteur reçoit réellement dans sa bande, il faut intégrer. Si l'intégrale est votre point faible, c'est ici que tout se joue.
1. Dérivées : la pente instantanée
La dérivée $f'(x)$ d'une fonction est sa pente en un point : $f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.
Interprétation optronique. La dérivée de l'éclairement par rapport à la distance mesure la « vitesse » à laquelle le signal s'affaiblit. Si $E(R) = k/R^2$, alors :
$$E'(R) = -\frac{2k}{R^3}$$
Un signal qui décroît en $1/R^2$ devient deux fois plus pénalisé par la distance à courte portée qu'à longue portée — c'est pourquoi gagner 500 m de détection à 2 km est bien plus facile qu'à 10 km.
Dérivées à connaître
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Cas d'usage |
|---|---|---|
| $x^n$ | $n\,x^{n-1}$ | Lois en puissance ($1/R^2$, $T^4$) |
| $e^{ax}$ | $a\,e^{ax}$ | Extinction atmosphérique $e^{-\sigma R}$ |
| $\ln x$ | $1/x$ | Échelles logarithmiques (dB, magnitudes) |
| $\sin x$ | $\cos x$ | Balayage, vibrations, FTM sinusoïdale |
Règle des dérivées composées : $(f\circ g)' = (f'\circ g)\cdot g'$. Exemple : $\frac{d}{dR}\,e^{-\sigma R} = -\sigma e^{-\sigma R}$ — le taux d'extinction est proportionnel à l'intensité restante.
2. Intégrales : sommer l'infini
L'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire sous la courbe — ou, en physique, la somme continue d'une densité.
Interprétation optronique. Le flux reçu dans une bande spectrale $[\lambda_1, \lambda_2]$ :
$$\Phi = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} \Phi_\lambda(\lambda)\,d\lambda$$
où $\Phi_\lambda$ est le flux spectral (W/m). Sans intégration spectrale, impossible de quantifier ce qu'une caméra voit réellement.
Techniques de survie
Linéarité : $\int (af + bg) = a\int f + b\int g$. Permet de découper des spectres compliqués.
Primitives usuelles :
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad \int e^{ax}\,dx = \frac{e^{ax}}{a} + C$$
Changement de variable : pour $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du$ avec $u = g(x)$. Indispensable pour les intégrales de Planck (changement $x = hc/\lambda kT$).
Intégration par parties : $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Utile pour les intégrales de la forme $\int x^n e^{-x}dx$ qui apparaissent dans le calcul des photons émis.
3. L'exemple canonique : intégrale de Stefan-Boltzmann
L'exitance totale d'un corps noir s'obtient en intégrant Planck sur tout le spectre :
$$M = \int_0^{\infty} M_\lambda(T)\,d\lambda = \sigma T^4$$
avec $\sigma = 5{,}67\times 10^{-8}\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$. Le résultat est remarquablement simple alors que l'intégrande est compliqué : c'est un des cas où la physique se « nettoie » sous l'intégrale.
Exercice mental : pour une cible à $T = 300$ K, $M \approx 459\ \mathrm{W/m^2}$. Vérifiez : $300^4 = 8{,}1\times 10^9$, multiplié par $5{,}67\times 10^{-8}$ — ordre de grandeur à connaître par cœur.
4. Approximations numériques (votre pain quotidien)
En évaluation, on n'intègre pas toujours analytiquement : on discrétise. Méthode des rectangles (ou trapèzes) :
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i} f(x_i)\,\Delta x$$
Concrètement : un spectromètre vous donne $f(\lambda_i)$ à pas de 50 nm ; la somme $\sum f_i \times 50$ est votre flux intégré. Erreur classique en spécification : oublier de multiplier par $\Delta\lambda$ et rapporter des « W » à la place de « W/m » ou inversement.
5. Ce qu'il faut retenir
- Dérivée = sensibilité locale ; intégrale = somme d'une densité.
- $1/R^2$ et $e^{-\sigma R}$ sont les deux décroissances dominantes du domaine.
- Une intégrale spectrale mal bornée (mauvaises $\lambda_1,\lambda_2$) fausse tout un calcul de portée.
- L'approximation par sommes discrètes est légitime — et souvent la seule voie en bureau d'études.
Vigilance : dans les rapports d'essais, vérifiez toujours si les valeurs rapportées sont spectrales (par µm) ou intégrées (sur la bande). Les deux cohabitent dans le même document.
Pour aller plus loin : fiche A2 (Fourier → MTF), puis Bloc B (Planck en pratique). Exercices associés : bloc A sur la page Exercices.