Nombres complexes et transformée de Fourier — la clé de la MTF

Comprendre Fourier n'est pas un luxe mathématique — c'est ce qui permet de lire une courbe de MTF, de spécifier une optique et de comprendre pourquoi une image se dégrade.

Pourquoi Fourier est incontournable en optronique

Un système d'imagerie transforme une scène en image. Cette transformation est presque toujours linéaire et invariante par translation : une source ponctuelle produit la même réponse (la tache image) où qu'elle soit dans le champ. Or le théorème central dit qu'un système linéaire se décompose en fréquences. La transformée de Fourier est l'outil qui fait cette décomposition, et la MTF (Modulation Transfer Function) — la courbe de performance d'une optique — n'est autre qu'une transformée de Fourier normalisée.

Si vous retenez une chose : la MTF est le module de la transformée de Fourier de la fonction d'étalement du point (PSF).

1. Nombres complexes : la notation qui simplifie tout

Un nombre complexe $z = a + ib$ avec $i^2 = -1$ se représente aussi en polaire : $z = re^{i\theta}$ où $r = |z|$ (module) et $\theta = \arg z$ (phase).

Formule d'Euler :

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

C'est l'outil qui fait tout marcher : une exponentielle complexe est une oscillation. Écrire $e^{i\theta}$ au lieu de $\cos\theta + i\sin\theta$ divise la taille des calculs par deux.

Les opérations à savoir faire

• Produit : $z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\theta_1+\theta_2)}$ — les modules se multiplient, les phases s'ajoutent. En imagerie : deux filtres en cascade multiplient leurs réponses fréquentielles.
• Conjugué : $\bar z = a - ib$, et $z\bar z = |z|^2$ — le module au carré, qui donne la puissance/intensité.
• Inverse : $1/z = \bar z/|z|^2$.

Analogie utile : un filtre optique est une fonction à valeurs complexes — chaque fréquence est atténuée (module) et déphasée (phase). La MTF n'en retient que le module.

2. La transformée de Fourier

Pour un signal $f(x)$ :

$$\hat f(\nu) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,e^{-2i\pi\nu x}\,dx$$

et inversement $f(x) = \int \hat f(\nu)\,e^{2i\pi\nu x}\,d\nu$.

Lecture physique : $\hat f(\nu)$ mesure « combien » de la fréquence $\nu$ est contenue dans $f$. Une fonction lisse et étalée → spectre concentré près de $\nu = 0$. Une fonction abrupte → spectre riche en hautes fréquences.

Propriétés essentielles

Les transformées à connaître

• Rectangle $\Pi(x)$ de largeur $a$ → $\hat f = a\,\mathrm{sinc}(a\nu)$ avec $\mathrm{sinc}(u)=\sin(\pi u)/(\pi u)$. C'est la forme de la tache de diffraction en amplitude — et la MTF d'un pixel carré.
• Gaussienne $e^{-\pi x^2}$ → gaussienne $e^{-\pi\nu^2}$. La seule fonction qui se transforme en elle-même : une PSF gaussienne donne une MTF gaussienne.
• Dirac $\delta$ → 1 (spectre plat). Un point parfait contient toutes les fréquences : c'est pourquoi on teste les systèmes avec des sources quasi-ponctuelles.

3. Convolution : ce que fait réellement un instrument

L'image $i(x)$ produite par un système est la convolution de la scène $s(x)$ par la réponse impulsionnelle $h$ (la PSF) :

$$i(x) = (s * h)(x) = \int s(u)\,h(x-u)\,du$$

Chaque point de la scène est « étalé » en une tache $h$, et les taches se superposent. Dans le domaine fréquentiel :

$$\hat i(\nu) = \hat s(\nu)\cdot\hat h(\nu)$$

La quantité $\hat h(\nu) = \mathrm{OTF}(\nu)$ est la fonction de transfert optique ; son module $|\mathrm{OTF}| = \mathrm{MTF}$.

Pourquoi c'est fondamental en évaluation : la MTF totale d'une chaîne est le produit des MTF des étages — optique × détecteur (pixel) × stabilisation × écran. Spécifier chaque étage séparément puis multiplier est la méthode standard de prédiction de performance.

4. De la PSF à la MTF : le calcul qui relie tout

Pour une pupille circulaire de diamètre $D$ en diffraction pure à la longueur d'onde $\lambda$ :

• La PSF est la tache d'Airy : $h(x) \propto \left[\frac{2J_1(\pi x/\theta_0)}{\pi x/\theta_0}\right]^2$ avec $\theta_0 = \lambda F\#$ où $F\# = f/D$.
• La MTF est la fonction « chapeau chinois » :

$$\mathrm{MTF}(\nu) = \frac{2}{\pi}\left[\arccos\left(\frac{\nu}{\nu_c}\right) - \frac{\nu}{\nu_c}\sqrt{1-\left(\frac{\nu}{\nu_c}\right)^2}\right]$$

avec la fréquence de coupure $\nu_c = 1/(\lambda F\#)$ en cycles/mm au plan image.

Conséquence directe en spécification : à $\lambda = 10\ \mu m$ et $F\# = 2$, $\nu_c = 50$ cycles/mm — un pixel de 15 µm échantillonne à 33 cycles/mm, ce qui couvre une grande partie de la bande optique. À $\lambda = 4\ \mu m$ et $F\# = 4$, $\nu_c = 62{,}5$ cycles/mm — l'échantillonnage pixel devient le facteur limitant.

5. Échantillonnage : le théorème de Shannon

Un capteur matriciel n'est pas continu : il échantillonne à la fréquence $\nu_e = 1/p$ ($p$ = pas du pixel). Shannon exige $\nu_{signal} < \nu_e/2$ (fréquence de Nyquist) sous peine de repliement spectral (aliasing) : les hautes fréquences se replient en fausses basses fréquences — c'est le moiré sur une image.

En pratique optronique : les imagers IR sont souvent sous-échantillonnés ($\nu_c > \nu_{Nyquist}$) car on préfère une petite tache Airy pour la portée. Conséquence : les modèles de prédiction (NVThermIP) intègrent explicitement l'aliasing — un point à vérifier dans une évaluation.

6. Ce qu'il faut retenir

• $e^{i\theta}$ unifie oscillation et rotation — tout le calcul Fourier s'écrit avec.
• Image = scène ∗ PSF ; en fréquence : produit par l'OTF.
• MTF = |TF(PSF)| ; MTF chaîne = produit des MTF étages.
• Fréquence de coupure diffraction : $\nu_c = 1/(\lambda F\#)$.
• Échantillonnage pixel < Nyquist → aliasing, à surveiller dans les specs.

Pour aller plus loin : fiche B4 (optique & diffraction) pour la MTF en détail, C5 pour le filtrage numérique. Exercices bloc A : calculs de $\nu_c$, produits de MTF, lecture de courbes.