Probabilités et bruit — le langage du signal détecté
Tout détecteur est une machine statistique. SNR, bruit de photons, gaussien et poissonien — les outils pour quantifier une détection plutôt que la ressentir.
Pourquoi les probabilités avant tout
Un détecteur ne répond jamais deux fois pareil au même photon. Le signal est aléatoire : compter des photons, mesurer une tension, déclarer une détection — tout cela se décide avec des probabilités. La question centrale de l'évaluation (« à quelle distance voit-on la cible ? ») se reformule : à quelle distance le SNR descend-il sous le seuil de détection pour une probabilité de fausse alarme donnée ?
1. Variables aléatoires : moyenne, variance, écart-type
Pour une variable $X$ :
$$\mathbb{E}[X] = \mu, \qquad \mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X-\mu)^2] = \sigma^2$$
L'écart-type $\sigma$ est l'unité naturelle du bruit. Propriété capitale pour le calcul d'erreur :
$$\mathrm{Var}(X+Y) = \mathrm{Var}(X) + \mathrm{Var}(Y) \quad \text{si } X,Y \text{ indépendants}$$
Des bruits indépendants s'ajoutent en quadrature : $\sigma_{tot} = \sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}$, pas en valeur. Un détecteur avec bruit de lecture 50 e⁻ et bruit de photons 120 e⁻ a un bruit total de $\sqrt{50^2+120^2} = 130$ e⁻ — le plus gros terme domine. Règle pratique : traquer le bruit dominant suffit souvent.
2. Loi de Poisson : le bruit de photons
Compter des photons sur un temps $t$ suit une loi de Poisson :
$$P(N=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}, \qquad \mathbb{E}[N] = \mathrm{Var}(N) = \lambda$$
Le point qui change tout : pour Poisson, $\sigma = \sqrt{\lambda} = \sqrt{\mu}$. Le bruit croît comme la racine du signal — donc le rapport signal/bruit croît comme la racine du signal :
$$\mathrm{SNR}_{photons} = \frac{\mu}{\sqrt{\mu}} = \sqrt{\mu}$$
C'est le bruit de photons (shot noise), la limite fondamentale de toute détection optique. Conséquences directes :
- Diviser le temps d'intégration par 4 → SNR divisé par 2. Choisir entre frame rate et sensibilité est un arbitrage explicite.
- L'imagerie en basse lumière est intrinsèquement limitée par la physique — aucun traitement ne réinvente les photons non reçus.
- « Bruit limité par le signal » (shot-noise limited ou BLIP pour les IR) est le régime idéal d'un bon capteur.
3. Loi normale : l'approximation qui simplifie tout
Quand $\lambda$ est grand (typiquement > 20 événements), Poisson ≈ gaussienne :
$$X \approx \mathcal{N}(\mu, \sigma^2), \qquad f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$$
Théorème central limite : la somme de beaucoup de contributions indépendantes tend vers une gaussienne — c'est pourquoi le bruit électronique, thermique, de lecture sont quasi toujours gaussiens.
Les probabilités à connaître par cœur
| Intervalle | Probabilité |
|---|---|
| $\mu \pm 1\sigma$ | 68,3 % |
| $\mu \pm 2\sigma$ | 95,4 % |
| $\mu \pm 3\sigma$ | 99,7 % |
Et pour les dépassements (détection) : $P(X > \mu + 3\sigma) \approx 0{,}13\%$, $P(X > \mu + 5\sigma) \approx 3\times10^{-7}$.
4. Seuil de détection : le compromis Pd / Pfa
Détecter, c'est décider « cible présente » quand la mesure $x$ dépasse un seuil $s$. Deux erreurs possibles :
- Fausse alarme : bruit seul dépasse $s$ → $P_{fa}$
- Détection manquée : signal + bruit sous $s$ → $1 - P_d$
Avec du bruit gaussien d'écart-type $\sigma$, un seuil à $\mu_b + k\sigma$ donne :
$$P_{fa} \approx \frac{1}{2}\,\mathrm{erfc}\left(\frac{k}{\sqrt 2}\right) \approx e^{-k^2/2}$$
(ordre de grandeur pour $k$ grand). Pour $P_{fa} = 10^{-6}$, il faut $k \approx 4{,}75$ — le seuil est à ~5σ au-dessus du bruit moyen.
Alors la probabilité de détection d'un signal à $\mu_b + S$ :
$$P_d = P(\text{signal} > s) = P\left(Z > k - \frac{S}{\sigma}\right)$$
où $S/\sigma$ est le SNR. Traduction optronique : pour obtenir $P_d = 50\%$ à $P_{fa}=10^{-6}$, il faut $S/\sigma \approx 4{,}75$. C'est l'origine des seuils « SNR requis » des critères de détection (cf. fiche C1).
5. Bruits composés d'un détecteur IR
Pour un pixel de détecteur IR, les sources de bruit typiques (en électrons RMS) :
$$\sigma_{tot}^2 = \underbrace{\sigma_{photon}^2}_{\text{fond+signal}} + \underbrace{\sigma_{dark}^2}_{\text{courant d'obscurité}} + \underbrace{\sigma_{read}^2}_{\text{lecture}} + \underbrace{\sigma_{1/f}^2}_{\text{basse fréquence}}$$
- Photon noise : incompressible, poissonien. Pour une LWIR regardant un fond à 300 K, le flux photonique est énorme — c'est le bruit dominant (régime BLIP : Background Limited Infrared Photodetector).
- Dark current : thermique dans le détecteur → croît exponentiellement avec la température → pourquoi on refroidit les détecteurs photoniques.
- Read noise : électronique de lecture, fixe par image.
- 1/f noise : dérive basse fréquence des microbolomètres — pénalise l'imagerie lente.
6. Corrélation et moyennage
Moyenner $N$ mesures indépendantes divise le bruit par $\sqrt N$ :
$$\mathrm{Var}\left(\frac{1}{N}\sum X_i\right) = \frac{\sigma^2}{N}$$
C'est le principe de l'intégration temporelle (sommer des images) : gain $\sqrt N$ en SNR — utile mais décevant : ×4 en SNR exige 16 images. Et ça ne marche que si les bruits sont indépendants : une non-uniformité fixe du plan focal ne disparaît pas par moyennage (d'où la correction de non-uniformité, NUC — fiche C3).
7. Ce qu'il faut retenir
- $\sigma = \sqrt{\mu}$ pour Poisson → SNR photon = $\sqrt{N_{photons}}$ : limite fondamentale.
- Bruits indépendants → somme en quadrature ; le terme dominant gagne.
- Seuil ~5σ → $P_{fa} \approx 10^{-6}$ ; le SNR requis pour $P_d$ donnée en découle.
- Moyenner $N$ images → SNR ×$\sqrt N$, si bruit indépendant.
- Basse lumière = régime poissonien ; fort flux IR = BLIP.
Réflexe en évaluation : quand une fiche produit annonce un NETD, demandez-vous toujours dans quelles conditions de flux, température de scène, temps d'intégration et F/#. Un NETD sans conditions est un NETD sans valeur.
Pour aller plus loin : B5 (bruits des détecteurs IR concrets), C1 (Pd/Pfa dans les critères Johnson/TTP). Exercices bloc A : calculs de SNR, seuils, moyennage.