Algèbre linéaire et images — la convolution en pratique

Une image est une matrice, un filtre est un produit de matrices locales, et la plupart des traitements optroniques sont de l'algèbre linéaire appliquée.

Une image est un objet mathématique

Une image numérique est une matrice $I \in \mathbb{R}^{M\times N}$ de valeurs (comptes numériques, ADU) ou un vecteur de $MN$ pixels. Ce point de vue transforme le traitement d'image en algèbre linéaire : filtrer, fusionner, redresser sont des opérations matricielles — et les algorithmes de détection sont des tests statistiques sur des vecteurs.

1. Le produit de convolution discret

La version discrète de la convolution vue en A2 :

$$(I * K)[m,n] = \sum_{i=-a}^{a}\sum_{j=-b}^{b} I[m-i,\, n-j]\,K[i,j]$$

$K$ est le noyau (kernel), typiquement 3×3 ou 5×5. C'est l'opération fondamentale : flouter, débruiter, détecter des contours, estimer le fond — tout est convolution avec le bon noyau.

Noyaux classiques

Moyenneur 3×3 (flou de base) :

$$K = \frac{1}{9}\begin{pmatrix} 1&1&1\\1&1&1\\1&1&1 \end{pmatrix}$$

Gaussien (flou « physique », approxime une PSF) :

$$K \approx \frac{1}{16}\begin{pmatrix} 1&2&1\\2&4&2\\1&2&1 \end{pmatrix}$$

Laplacien (détection de contours, 2ᵉ dérivée) :

$$K = \begin{pmatrix} 0&1&0\\1&-4&1\\0&1&0 \end{pmatrix}$$

Sobel x (gradient horizontal) :

$$K = \begin{pmatrix} -1&0&1\\-2&0&2\\-1&0&1 \end{pmatrix}$$

Lien avec la fiche A2 : convoluer par un noyau = multiplier le spectre par la réponse fréquentielle du noyau. Un moyenneur est un passe-bas ; un Laplacien est un passe-haut. Choisir un noyau, c'est choisir un filtre fréquentiel.

2. Correction de non-uniformité (NUC) — l'algèbre de la calibration

Chaque pixel $p$ d'un plan focal a son propre gain $g_p$ et offset $o_p$ : pour un flux incident $\Phi$, il répond $y_p = g_p\Phi + o_p$. La correction à deux points mesure la réponse sur deux flux connus (corps noir froid $\Phi_C$ et chaud $\Phi_H$) et linéarise :

$$\hat g_p = \frac{y_p^H - y_p^C}{\Phi_H - \Phi_C}, \qquad \hat o_p = y_p^C - \hat g_p\,\Phi_C$$

puis l'image corrigée : $I_p^{corr} = (I_p - \hat o_p)/\hat g_p$ — une simple opération diagonale (matrice diagonale de gains + vecteur d'offsets).

C'est le traitement le plus critique d'une caméra IR : le bruit spatial fixe (FPN) non corrigé peut dépasser le NETD par un facteur 10. En évaluation : exigez les paramètres NUC (points de calibration, dérive dans le temps, besoin de recalibration en vol — les détecteurs refroidis embarquent souvent un volet de calibration).

3. Redressement géométrique : la matrice de passage

Stabiliser, recaler, fusionner des images de capteurs différents exige des transformations géométriques. Une rotation+translation (rigide) en coordonnées homogènes :

$$\begin{pmatrix} x'\\y'\\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & t_x\\ \sin\theta & \cos\theta & t_y\\ 0&0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\y\\1 \end{pmatrix}$$

• Rotation : la matrice orthogonale $R$ vérifie $R^{-1} = R^T$ — l'inverse est la transposée, propriété utilisée partout.
• Homographie (3×3, 8 degrés de liberté) : le modèle complet pour recaler deux images d'un même plan (ou quasi-plan) — base du recalage EO/IR en fusion multi-capteurs.

4. Détection : seuillage et morphologie

Seuillage

$$B[m,n] = \mathbb{1}\{I[m,n] > s\}$$

Le choix de $s$ fixe le compromis Pd/Pfa (fiche A3). Variante robuste : seuil adaptatif $s = \mu_{local} + k\sigma_{local}$ (détection CFAR — Constant False Alarm Rate — qui maintient la Pfa constante quand le fond varie).

Morphologie

Opérations sur image binaire (ou niveau de gris) par élément structurant :

• Érosion : pixel conservé si tout le voisinage est à 1 — supprime les points isolés (fausses alarmes ponctuelles).
• Dilatation : étend les zones à 1 — reconnecte les blobs fragmentés.
• Ouverture = érosion puis dilatation : nettoie sans déformer. Séquence classique en détection de point chaud IR : seuillage → ouverture → extraction des composantes connexes → mesure de taille/intensité → classification.

5. Analyse en composantes et fusion

Vecteurs propres et ACP

La matrice de covariance $\Sigma = \mathbb{E}[(X-\mu)(X-\mu)^T]$ d'un ensemble d'images (ou de bandes spectrales) se diagonalise : ses vecteurs propres sont les axes de variance décroissante. L'analyse en composantes principales projette sur les $k$ premiers vecteurs — compression et extraction de signature spectrale (utile en hyperspectral et pour caractériser les clusters de pixels cible/fond).

Fusion EO/IR — un produit pondéré

Fusionner une image visible $I_v$ et IR $I_{th}$ à niveau pixel, forme simple :

$$I_f = \alpha I_v + (1-\alpha) I_{th}$$

ou fusion par bandes (décomposition en échelles — Laplacian pyramid, ondelettes) : on fusionne chaque bande de fréquence séparément, en gardant le contraste IR pour les zones chaudes et la texture visible pour le contexte. En évaluation : la fusion se juge sur la complémentarité effective (le gain d'information mesurable, pas sur l'esthétique).

6. Ce qu'il faut retenir

• Image = matrice ; filtrage = convolution par un noyau = filtre fréquentiel.
• NUC deux-points : gain/offset par pixel — le traitement qui fait ou défait une caméra IR.
• Transformations géométriques (rigide, homographie) = recalage et stabilisation.
• Chaîne de détection : seuillage (CFAR) → morphologie → mesures → décision.
• Fusion = combinaison par bandes fréquentielles, pas simple moyenne.

Pour aller plus loin : C5 (traitement d'image opérationnel : tracking, ATR, Kalman). Exercices bloc A : convolution à la main, calcul de CFAR, lecture de noyaux.